2021-04-20
来源：bilibili
作者：truewillium《戴森球计划》中的环赤道太阳能腰带受到了玩家们的好评，因为它发电性能非常好，不过有时候一部分太阳能板不会工作，这会影响发电效率吗？下面为大家带来“truewillium”分享的《戴森球计划》环赤道太阳能腰带机制解析与太阳能板发电期望，希望能帮助到大家。
结论在游戏中，环赤道太阳能腰带备受好评，特别是在近日轨道的工业星球上，效果拔群。可以说是每一名玩家的第一个行星级建筑。但始终有一部分太阳能板不工作的特性，让一部分玩家对光电保有怀疑态度，甚至陷入疑惑线，最终归结于铺设方便这种感性结论。
因此，这篇文章建立了合理的晨昏圈模型，算得：
太阳能板在赤道处发电的平均期望为196.64 kW 任意位置的平均期望约为205.57 kW并对数种太阳能板阵列发电的周期性进行了评估。
背景知识太阳能腰带，光伏板像向日葵一样自动调整角度，又随着日落而逐渐熄灭，让人印象深刻。很好地展示了游戏的特性：行星并非是一个独立的场景，恒星也不仅仅是场景的光源，它们都是宇宙中可以相互交互的实体。
影响太阳能板发电效果的因素有：
光能利用率光能利用率即星球的面板值，直接影响该星球太阳能板的发电期望，光能利用率越高，太阳能板的发电期望越高，这一点毫无异议。
太阳能板位置（经度、纬度）太阳能板的位置，这里主要是纬度对发电效率有比较明显的影响。
行星参数与太阳能板的阵列排布方式注：行星参数包括自转周期、公转周期、地轴倾角、卫星的轨道倾角。
行星参数和阵列排布则从正反两个方面决定了发电的周期性，这是一个重要的评价指标。复数的太阳能板发电大多数情况下呈正弦式的波动，有峰值和谷值。用电器不会等到峰值时集中用电，也不会在谷值时集体休息，那么在尽可能避免黄电的情况下，谷值才是有效值。所以，单纯的发电期望高并不一定舒适，当然所有的太阳能阵列都可以用电池达到发电期望值，考虑电池的高成本和额外占地，如果能用合适的阵列几何地消除波动性，是再好不过。
建立合适的模型，计算各种阵列的发电期望并对波动性进行评估将是本文的主要内容。
太阳能板涉及到行星和恒星的互动，要计算其发电期望，必须讲明一些“宇宙常数”：
经纬度定位所有固态行星的大小和经纬划分完全相同，并且，赤道处纬线圈为1000格，每格1.26 m。所有经线圈为1000格，每格1.26 m。由此可得：赤道处每格位移对应经度±0.36°，经线每格位移对应纬度±0.36°。由此，获得精确定位。
轨道倾角和地轴倾角，轨道倾角对卫星有较大影响，不展开讨论。对行星来说，地轴倾角这个指标更为重要，也就是自转轴和公转轴之间的夹角，或者说是赤道面和黄道面之间的二面角。
地轴倾角会影响行星的极昼极夜范围，会导致太阳直射点的回归运动。地轴倾角越小，太阳能板工作越稳定。在地轴倾角较小的星球，纬度越高，“效率”越高；纬度越低，纬线圈半径越大，容纳的太阳能板数量越高，总发电量越高。地轴倾角较大的星球，纬度越高，“效率”的期望越高，季节波动越明显，纬度越低，期望越低，季节波动也越不明显。
所以轨道共振并非完全是一个毫无用处的标签，至少和潮汐锁定一样，地轴倾角都比较小，能显著降低光电的波动性。
在一些潮汐锁定星球，某些地方太阳能板的功率依然会有波动，并不是潮汐锁定星球仍然在缓慢昼夜变化，可能是直射点沿着所在经线，在赤道附近摆动导致。
此外，自转周期和公转周期也是比较重要的参数，可能会影响电池的最小数量，本文暂不谈。
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赤道太阳能腰带首先，列出一系列的统计数据，对赤道腰带这种最广泛的太阳能阵列有一个大致认识。
赤道有1000格，太阳能板占地3×3，赤道太阳能腰带需要333个太阳能板，余1格。这一点在所有能铺太阳能板的星球都是一致的。也就有了第1节所有固态星球完全相同的结论。
对表格中各个属性的定义如下：
平均功率=发电功率/太阳能板数量 额定功率=360 kW × 光能利用率，即该行星太阳能板满功率工作时，能达到的最大功率 等效工作时长日占比=平均功率/额定功率，一昼夜间，太阳能板以最大功率工作的（等效）时间（占比）统计数据和理论计算数据都能有力支持以下计算简式：
赤道太阳能腰带功率(MW) = 65.48 MW × 光能利用率 游戏中的晨昏圈模型如果铺过潮汐锁定星球的太阳能板，或者在“M”视角下观察过太阳能腰带，一定能发现：太阳能板并不是只在直射点± 90°的昼半球才会工作。（或者说，太阳能腰带的熄灭处并非晨昏分界线）太阳刚落下时，即使地平线已经看不见太阳，太阳能板似乎依然有少许发电能力。
经实验测试，在晨昏圈附近，太阳能板的工作状态分布是这样的：
橙色为100%工作区域，浅橙为0~100%的过渡区域，灰色为不工作区域
在赤道太阳能腰带中：
有约1/2的太阳能板满功率工作（√） 有约39%的太阳能板不能工作（√）下图标出了赤道上光照系数的角分布：
光照系数当前此处太阳能板的发电功率和该星球最大发电功率（= 光能利用率 × 360 kW）的比值。个体概念，瞬时概念，和光能利用率不一样，乘算，不叠加。
横轴是经度，橙点为直射点，黑点为赤道上的晨昏点，即昼半圈和夜半圈分界点
α指在赤道的夜半圈光照系数>0的区域对应的圆心角，β指赤道的昼半圈光照系数<100%的区域对应的圆心角
为了求α和β的精确数值，我们沿着潮汐锁定星球赤道，在昼夜交界附近，铺一些太阳能板，并读取这些太阳能板的发电数值，以光照系数的形式对经度作出函数图像：
在过渡区域，光照系数沿着经度（λ/°E）呈现线性变化。
得到线性回归方程后外推，就可以得到光照系数为1和0时的经度，也就是过渡区域分界线的精确位置。
在对称的晨昏线处进行相同的实验，对称分界点之正中即是直射点的位置。再将直射点经度±90°，我们就可以确定晨昏点的经度，分别是47.365°和-132.635°。（正是左下角信息面板中昼夜状况的改变位置，验证了此结论的正确性）
实验结果
接着就得到图中的昼半球过渡角β = 3.335°，夜半球过渡角α = 19.975°，总过渡角23.31°。
由于光照系数对经度的函数是线性的，期望也相当之好算。可以用以下简式计算：均化光照系数 = (180 + α - β) / 360。得到均化光照系数为0.54622，也就是统计中保持在0.546左右的等效工作时长日占比。
均化光照系数：某一瞬间，太阳能板阵列中所有太阳能板光照系数的平均值
等效工作时长日占比：太阳能板一昼夜内满功率工作的（等效）时间（占比）
均化光照系数是空间平均概念，等效工作时长日占比是时间平均概念。太阳能腰带用空间均匀性使其具有了时间均匀性，因而此时两个概念是等价的。若是太阳能扇环，其均化光照系数就是一个随时间变化的函数，而等效工作时长日占比依然是定值，此时，两个概念不能划等号。
实验是在永昼永夜做的，就如在昼夜交替的星球发动了咋瓦卢多，時間が止まる。反过来想，也是一样，所以实验结论也能推广到其他星球。但值得注意的是，潮汐锁定星球地轴倾角几乎为0，本节和下一节的结论仅适用于这类地轴倾角不太大的星球，在第5节和第6节说明了地轴倾角不可忽略时的情况。
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高纬太阳能环0.54622这个光照系数只在赤道有效，等效工作时长日占比和纬度是有关的。也就是说，太阳能环的均化光照系数也是纬度的函数。
如图，我们注意到在高纬度有这样一条纬线（蓝线标示），不论直射点在赤道上的哪里，都有大于0的光照系数。也就是说，这里的一圈太阳能板永远都会亮蓝灯不会灭掉，存在一个伪永昼的效果。
优点：
倾角较小时，有稳定的伪永昼效果 此处“发电效率”（均化光照系数）相对更高缺点：
太阳能环的总发电量较低 倾角较大时，不稳定性更大以下是统计数据，在图中对照各个纬线的位置就能理解为何均化光照系数会随纬度发生变化。
正常昼夜交替星球不同纬度太阳能环的数据（光能利用率103%）
（为了避免地轴倾角影响，在南北半球对称放置，所以这里是两倍，但不影响平均功率和光照系数）
潮汐锁定星球不同纬度太阳能环的数据（光能利用率135%）
纬度越高，该纬度能建的太阳能板的数量就越少，但光照效率更高，那么我们可以考察一圈太阳能板的发电总量和两个变量的相关性：
r(环发电功率，数量) = 0.997 r(环发电功率，平均功率) = -0.913发电总量和数量正相关，和平均功率负相关。因此，太阳能板的数量对发电总量贡献更多。
可以将经纬度这套柱坐标变换成极坐标再套用到晨昏圈模型中积分求平均，但毕竟有点难算。作为老蓝狗，这里给一个能覆盖绝大多数区域的分段拟合模型。
纬度首先影响的是过渡区大小嘛，根据这一点，在φ纬度，对过渡角α和β做以下修正：（下式中的α'和β'是该纬度圈的圆心角，而非球心角）
sin α' = sin α / cos φ sin β' = sin β / cos φ y = (180 + α - β) / 360下图绘制了该拟合模型的拟合曲线（理论值）以及根据表4-2绘制的实际曲线（测试值）。此模型下，0~60°区域相当吻合，但φ>60°时出现较大偏差。这是因为，高纬度地区太阳能板不像赤道是面朝东西方，所以出现了较大偏差。
α和β最大值是90°，所以红线在70°和86°出现了拐点，当然了这部分完全拟合不上
高纬度更像线性模型，结合实验数据，得到如下分段函数：
当φ<60°时：
sin α' = sin α / cos φ sin β' = sin β / cos φ y = (180 + α' - β') / 360当70.025° < φ < 86.665°时：
y = 0.0126 φ - 0.2285当φ > 86.665°时：
y = 0.8569
60°~70°影响因素复杂，难以获得简单的模型，需要更细致的研究。总之，在游戏中，提高纬度能提高效率，并且大方向上是单增的。
对高纬度太阳能环的评价：
高纬度太阳能环效率更高 赤道太阳能环发电量更高所以，高纬度太阳能环能不能做？我的意见是：能做，特别是地轴倾角比较小的时候（如果是卫星，轨道倾角最好也比较小）。推荐在哪里做？我推荐70°。首先，这条纬线是一个换格纬线，本身就不太好利用。其次，这个纬度对极地各种转转转和低纬厂区规划的影响都不太大。第三，这个纬圈刚好是伪永昼的最小纬度。
那么，倾角较大时，高纬度太阳能板能不能做？我建议慎重考虑，波动性会比较高。
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对称性和太阳能板发电量波动周期圆对称性能消除自转导致的发电涨跌。或者更严谨地说纬圈对称性，这要求阵列具有C∞轴且该轴与地轴重合，也就是沿着纬线摆放。经圈太阳能板也有圆对称性，但不大相同。
讲解对称是如何消除太阳能发电波动之前，先看看单个太阳能板会有什么样的发电波动。
太阳光直射点的运动方式和自转方向正相反，是自东向西移动。
如图所示，对于北半球纬度φ<70°，经度λ处的太阳能板，当直射点运行到λ+α+90°E时，指示灯从红转蓝，逐渐开始工作，直射点运行到λ-α-90°E，熄灭，直到下一个周期开始。（这里α是纬度修正后的，纬度修正的方法参考第4节）
单个太阳能板的光照系数随时间的变化和光照系数随经度的变化是相似的。
若绕着纬圈建设一圈太阳能板，就不会有自转波动，而是第2节、第4节所计算的一个固定值。
当地轴倾角不能忽略时，远离赤道的太阳能环的发电量会随着季节变化而变化。北半球辐射量小的时候南半球辐射量高，因此，在游戏中，我们可以在南半球安装对称的一圈太阳能板，即所谓的圆柱对称性，从而消除季节反相的波动。
对称性和周期性总结如下：
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地轴倾角对圆柱对称太阳能阵列的影响除季节带来的半球反相波动外，地轴倾角还会带来一种太阳能环这种级别的对称性无法消除的固有波动，即过渡区的季节性拉伸，如下图所示。
地轴倾角不太大时，θ是地轴倾角，对过渡角α和β的修正如下：
sin α' = sin α / cos θ sin β' = sin β / cos θ和纬度类似，倾角较高的时候这个模型应该也不太精准。
可以这样理解，有地轴倾角的星球，在夏天和冬天，太阳能板会向两边“跑”，“纬度”就变高了，而高纬的均化光照效率高于赤道，从而提高了效率。
这样来看，完全是正面影响。或者说，从期望来看，有地轴倾角星球的赤道太阳能/对称太阳能环略大于无地轴倾角星球的赤道太阳能/对称太阳能环。（这大概也是表2-1中偏差的来源之一）
还要补充一句，不能因为这一点就觉得地轴倾角在太阳能板上是正面特质，横躺自转的波动性，什么阵列都救不了，要么铺满，要么加电池。
卫星地轴倾角和轨道倾角的耦合比较复杂，还是等专业人士解答吧。
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太阳能板的发电期望利用第2节中赤道太阳能腰带的实验结论，我们可以知道，除去光能利用率的因素后，赤道上太阳能板的发电功率期望为196.64 kW（即360 kW × 0.54622）。
此外，根据第4节的数据，可以求出，任意位置的太阳能板，发电功率期望的均值为205.57 kW，过程如下：
已知：太阳能环的功率P_ring和纬度φ、地轴倾角θ有关。
当地轴倾角趋于0时，每环太阳能板的年化功率期望P_ring只和纬度有关。忽略第6节所述的地轴倾角带来的过渡区季节性拉伸，太阳能环的年化功率期望全等于地轴倾角趋于0时，太阳能环的功率，数学语言表述为：
第4节中给出了在潮汐锁定星球上的一系列太阳能环功率和纬度的函数关系P_ring(φ)以及该纬度所能容纳的太阳能板数量和纬度的函数关系n_ring(φ)。
二者对纬度φ积分，从-90°（南半球）积到90°
∫P_ring为9358.59 MW（即铺满整个球，发电的期望为9.36 GW） ∫n_ring=33721.70（即铺满整个球需要33721.7个太阳能板）。相除为277.5242 kW同时，赤道处太阳能板平均功率为265.4655 kW，277.5242 / 265.4655 = 1.0454。
也能用此法算得，高纬度区（70°~90°）太阳能板的平均功率期望为：264.48 kW（方法和全球一致）
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